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circuitos electricos y ecuaciones diferenciales

Programa para simular circuitos electricos y MATHEMATICA

4 de marzo de 2014

Programa para simular circuitos electricos. Software de simulación:  MATHEMATICA. Aplicaciones de Ecuaciones Diferenciales en Circuitos Eléctricos

En este artículo aprenderás a aplicar y simular una Ecuación Diferencial para un circuito eléctrico RLC conectado en serie utilizando el software para simulación: MATHEMATICA.

Con esto podrás comprobar todos tus ejercicios resueltos de circuitos eléctricos RLC en serie, con lo que podrás aumentar tu confianza en tus resultados.

El código aquí utilizado está pensado para servirte en la solución de cualquier problema que involucre una ecuación diferencial lineal de 2º orden no homogénea de coeficientes constantes, así como en cualquier problema de Circuitos eléctricos RLC simples conectados en serie.

El modelado de un circuito eléctrico proviene de la aplicación básica de las leyes de Kirchoff como lo vimos en el artículo Circuitos Eléctricos y Ecuaciones Diferenciales, así como de conocer las relaciones entre los diferentes componentes del mismo al variar en el tiempo, las más básicas se pueden ver en la Tabla 1, del artículo citado.

Comenzamos retomando el ejemplo visto en el artículo: Circuitos Eléctricos y Ecuaciones Diferenciales, el cual es descrito en la Figura 1.

circuito electrico mixto
Figura 1. Circuito Eléctrico RLC conectado en serie.

El código en MATHEMATICA paso a paso es:

Datos:

Clear["Global`*"]
es = 110 (*Volts*)
frec = 60 (*Hertz*)
velAngular = Round[2*Pi*frec, 1] // N;
volE[t_] = es*Sin[velAngular t];
capac = 500 *10^-6(*micro faradios*)// N
lind = 100 *10^-3(*mH*)// N
resist = 50(*ohms*)// N

Luego modelamos el circuito según Kirchoff (ver artículo: Circuitos Eléctricos y Ecuaciones Diferenciales), el cual nos da una Ecuación Diferencial Lineal de 2º orden no homogénea:

\begin{equation}
L \frac{d^2 {I}}{d{t}^2} +{R}
\frac{d{I}}{d{t}} + \frac{1}{C} {I}= E' ( t)
\end{equation}		(1)

La cual modelamos en MATHEMATICA como sigue:

eq0 = lind*itr''[t] + resist*itr'[t] + (1/capac)*itr[t] == volE'[t];

La solución buscada es (ver el artículo, Circuitos Eléctricos y Ecuaciones Diferenciales):

\begin{equation}
{I}={I}_{{tr}} +{I}_{{ps}}
\end{equation}		(2)

La cual se obtiene resolviendo los sistemas: Homogéneo Asociado y no Homogéneo.

En MATHEMATICA dichos sistemas se resuelven con los siguientes códigos.

Programa para simular circuitos electricos. Solución del Sistema Homogéneo asociado mediante el método para ecuaciones homogéneas con coeficientes constantes

eq1 = lind*itr''[t] + resist*itr'[t] + (1/capac)*itr[t] == 0;
eqSh = DSolve[eq1, itr[t], t] // Expand

El resultado obtenido es:

{itr[t] -> 0. + E^(-456.155 t) C[1] + E^(-43.8447 t) C[2]}}

Donde, itr[t] es la corriente transitória

El cual representa la solución:

\begin{equation}
{I}_{{tr}} = C_1 e^{- 43.8447 t} + C_2 e^{- 456.155 t}
\end{equation}		(3)

Ahora, para encontrar la corriente periódica estacionaria, resolvemos el sistema no homogéneo.

Programa para simular circuitos electricos. Solución del sistema no homogéneo mediante el método de coeficientes indeterminados

eq0 = 0.1*ips''[t] + 50*ips'[t] + 2000*ips[t] == volE'[t];

OJO: Los coeficientes numéricos (en vez de las variables que utilizamos como coeficientes en el apartado de datos y en las definiciones de las primeras 2 ecuaciones escritas en MATHEAMTICA), son simplemente el resultado de aplicar los valores descritos en el apartado de datos a la ecuación  (1).  :-)

  1. Primero encontramos el conjunto fundamental de soluciones para la forma ($A*Sin(\omega t)$, el porqué de este paso se describe en el artículo: Circuitos Eléctricos y Ecuaciones Diferenciales), que según el método de coeficientes indeterminados, es:
\begin{equation}
{I}_{{ps}} = A \cos 377 t + B {sen} 377 t
\end{equation}		(4)

y en MATHEMATICA es:

ips[t_] = A*Cos[377*t] + B*Sin[377*t]

2. Ahora, según el método de los coeficientes indeterminados, derivamos la ecuación anterior, que representa el conjunto fundamental de soluciones y lo sustituimos en la ecuación (1), para encontrar el sistema de ecuaciones que nos permita, a su vez, encontrar los coeficientes indeterminados. Dicho sistema de ecuaciones lo encontramos con MATHEMATICA con el siguiente código:

eq0 = 0.1*ips''[t] + 50*ips'[t] + 2000*ips[t] == volE'[t] // N // Simplify

Resultando:

(-41470. - 12212.9 A + 18850. B) Cos[377. t] + (-18850. A - 12212.9 B) Sin[377. t] == 0

Lo que implica

$( - 12212.9 A + 18850 B) \cos 377 t + ( - 12212.9 B - 18850 A) {sen} 377 t = ...$

$ = 41470 \cos 377 t + 0 {sen} 377 t$

Ecuación que al igualar sus miembros, se obtiene el sistema de ecuaciones algebraicas que necesitamos resolver:

\begin{eqnarray*}
- 12212.9 A + 18850 B & = & 41470\\
- 12212.9 B - 18850 A & = & 0
\end{eqnarray*}

3. Por último resolvemos el sistema de ecuaciones algebraicas resultantes de la ecuación anterior, para encontrar los coeficientes indeterminados. Para esto, utilizamos en MATHEMATICA el siguiente código:

cvals = Solve[-12212.9*A + 18850*B == 41470 && -12212.9*B - 18850*A ==0]

Resultando:

{{A -> -1.00395, B -> 1.54954}}

Por lo que la solución particular buscada es:

\begin{equation}
{I}_{{ps}} = - 1.00395 \cos 377 t + 1.54954 {sen} 377 t
\end{equation}		(5)

Para convertir la función resultante en una función únicamente representada por seno (como típicamente ocurre para el voltaje suministrado a un circuito de corriente alterna), utilizamos el conocimiento de que:

\begin{eqnarray}
A \cos {\omega}t + B {sen} {\omega}t = C {sen} ( {\omega}t -{\delta})
\end{eqnarray}		(6)

Ecuación que está marcada como la número (23) del artículo: Circuitos y Ecuaciones Diferenciales, donde se explica su origen.

Además vimos que:

\begin{equation}
C = \sqrt{A^2 + B^2}
\end{equation}		(7)
A = -1.00394772191131;
B = 1.5495430698710537;
c = Sqrt[A^2 + B^2]
alpha = ArcTan[A/B]

Por lo que, la solución buscada es:

\begin{equation}
{I}_{{ps}} = 1.84635 \cos ( 377 t - 0.995899)
\end{equation}		(8)
ips[t] /. cvals[[1]]
itot[t_] = C1*Exp[-456.15529 t] + C2*Exp[-43.8447 t] - 1.00394772191131 Cos[377 t] + 1.5495430698710537 Sin[377 t]

o escrito en forma convencional:

\begin{equation}
{I}_{{tot}} = C_1 e^{- 43.8447 t} + C_2 e^{- 456.155 t}+1.84635 \cos ( 377 t - 0.995899)
\end{equation}		(9)

Por último, para encontrar los valores de $C_{1}$ y $C_{2}$, derivamos esta última ecuación (9) y la sustituimos en la ecuación (1), considerando los valores iniciales para este ejercicio, los cuales según el planteamiento del problema descrito en el artículo: Circuitos Eléctricos y Ecuaciones Diferenciales, son:

$I(0)=0$

y de: $Q(0)=0$ y $LI^{'}\left ( 0 \right )+RI\left ( 0 \right )+\frac{1}{C}Q\left ( 0 \right )=E\left ( 0 \right )$, obtenemos que:

$I^{'}(0)=0$

para de nuevo obtener un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas que nos lleve a poder despejar los valores de  $C_{1}$ y $C_{2}$.

Para esto, en MATHEMATICA procedemos de la siguiente manera:

e1 = itot[t]
e2 = itot'[t]
e1C = Evaluate[e1 /. t -> 0]
e2C = Evaluate[e2 /. t -> 0]
stot = Solve[e1C == 0 && e2C == 0]

El resultado obtenido es:

{{C1 -> 1.31008, C2 -> -0.306133}}

Por lo que el resultado final es:

La corriente total del Circuito es:

\begin{equation}
{I}_{{tot}} = 1.31008 e^{- 43.8447 t} - 0.306133 e^{- 456.155 t}+1.84635 \cos ( 377 t - 0.995899)
\end{equation}

El código de MATHEMATICA para graficar el Voltaje de Suministro($E(t)=E_{0} Sen(\omega t)$) y La Corriente resultante ($Itot(t)=I_{tr}+I_{ps} = I_{0}Sin(\omega t)$), es:

Clear["Global`*"]
VolE[t_] = 5*Sin[377 t];
CorrI[t_] = 3*Cos[377 t - 0.574897];
pE = Plot[VolE[t], {t, 0, Pi/80}, PlotStyle -> {Red}];
pI = Plot[CorrI[t], {t, -0.00259, Pi/80}, PlotStyle -> {Blue}];
Plot[{VolE[t], CorrI[t]}, {t, 0, Pi/80}, PlotStyle -> {Red, Blue},AxesLabel -> {t, {"I0","E0"}}, Ticks -> {}, {}}]
Show[pE, pI, PlotRange -> {{-0.004, Pi/80}, {-5, 6}},AxesLabel -> {t, {"I0","E"}}, Ticks -> {{}, {}}]

NOTA: es posible que el cortar y pegar los códigos de MATHEMATICA se omitan algunos paréntesis o sea necesario arreglar espacios que se generar entre los argumentos de los comandos; es por eso que lo más recomendable es teclear (letra por letra) los códigos.

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